Le nozioni di geometria già note a Egizi e Babilonesi vengono organizzate in una teoria assiomatica che le collega mediante ragionamenti deduttivi che prendono l'avvio da assiomi, o nozioni comuni, e postulati che compaiono all'inizio del primo dei tre libri in cui si articola l'opera di Euclide:
Postulati
- Per due punti passa una [e una sola] retta;
- Ogni retta può essere prolungata indefinitamente;
- Dati il centro e il raggio esiste uno e un solo cerchio;
- tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
- Se una retta, incontrandone altre 2, forma con esse angoli interni da una stessa parte con somma minore di 2 retti, queste due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla parte in cui giacciono tali angoli.
Assiomi
- Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro.
- Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali.
- Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali.
- Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali.
- I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
- Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.
- Cose che coincidono tra loro sono uguali.
- Il tutto è maggiore della parte.
Come si vede, i postulati fanno riferimento ad una materia particolare, la Geometria, mentre gli assiomi sono enunciati matematici di carattere più generale e comprendono sia il concetto di congruenza che quello di equivalenza. Comunque, attualmente non si dà peso a tale differenza e si indica con il termine assioma ogni proposizione primitiva.
Alcuni postulati attribuiti ad Euclide (es.: 4, 5, 6) sono invece frutto di interpolazioni posteriori ad Euclide. Altri sono stati aggiunti perchè "sottintesi" da Euclide, per esempio l'enunciato attualmente accettato è "per due punti passa una e una sola retta", mentre nel postulato N°1 si afferma l'esistenza di tale retta, assumendo implicitamente la sua unicità. Il quarto postulato è stato invece eliminato nei moderni manuali di geometria dove si definisce l'angolo piatto che Euclide non aveva invece considerato.
Va sottolineato inoltre che le proposizioni primitive erano state scelte secondo il criterio dell'evidenza della loro verità ed erano ritenute verità assolute.
Definizione
Un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
Propietà
Se un quadrilatero è un parallelogramma allora:
1. ciascina diagonale lo divide in due triangoli congruenti;
2. i lati opposti sono congruenti;
3. gli angoli opposti sono congruenti;
4. gli angoli adiacenti a ogni lato sono supplementari;
5. le diagonali si incontrano nel loro punto medio.
Se un quadrilatero convesso ha:
1. i lati opposti congruenti, oppure
2. gli angoli opposti congruenti, oppure
3. le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, oppure
4. due lati opposti congruenti e paralleli,
allora è un parallelogramma.
Definizione
Un rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti.
Propietà
Se un parallelogramma è un rettangolo allora:
1. le diagonali sono congruenti.
Se un parallelogramma ha:
1. le diagonali congruenti,
allora è un rettangolo.
Definizione
Un rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti.
Propietà
Se un parallelogramma è un rombo allora:
1. Ha le diagonali che sono perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli.
Se un parallelogramma ha:
1. le diagonali perpendicolari, oppure
2. una diagonale bisettrice di un angolo,
allora è un rombo.
Descrizione
Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti.
Propietà
Se un parallelogramma è un quadrato allora:
1. le diagonali sono congruenti;
2. le diagonali sono perpendicolari fra loro;
2. le diagonali sono bisettrici degli angoli.
Se un parallelogramma ha:
1. le diagonali congruenti e perpendicolari, oppure
2. le diagonali congruenti euna di esse è bisettrice di un angolo,
allora è un quadrato.